✨Độ đo

Độ đo

thế=|nhỏ|Về cơ bản, một độ đo có tính chấn của một [[hàm số đơn điệu|hàm đơn điệu theo nghĩa, nếu $A$ là tập con của $B,$ khi này độ đo của $A$ nhỏ hơn hoặc bằng độ đo của $B$ . Hơn nữa, độ đo của một tập rỗng phải bằng không. Một ví dụ cho độ đo là thể tích.]] Trong toán học, khái niệm độ đo (tiếng Anh: measure) là khái niệm tổng quát của các phép đo lường hình học như độ dài, diện tích hay thể tích và các khái niệm thông thường khác như chuẩn, khối lượng hay xác suất của các sự kiện. Những khái niệm này trông không liên quan tới nhau, nhưng lại có nhiều điểm chung và có thể được "đối xử" như nhau trên phuơng diện toán học. Độ đo là nền tảng của lý thuyết xác suất, tích phân và có thể được tổng quát hóa để biểu diễn các giá trị âm, như với điện tích. Các phép tổng quát rộng hơn của độ đo còn được sử dụng trong vật lý lượng tử và vật lý.

Ý tưởng của đọ đo đã xuất hiện kể từ Hy Lạp cổ đại, khi Archimedes cố gắng tính toán diện tích hình tròn. Nhưng phải tới cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20, lý thuyết độ đo mới trở thành một nhánh của toán học. Sự ra đời của lý thuyết độ đo hiện đại đã xuất hiện trong công trình của Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory, Maurice Fréchet và nhiều người khác.

Tính chất

Các tính chất sau đây có được từ các tiên đề trên:

Tính đơn điệu: Nếu E₁,E₂,... là các tập đo được và E₁ là tập con của E₂, thì μ(E₁) ≤ μ(E₂). Tính hợp đếm được: Nếu E₁,E₂,E₃,... là các tập đo được và E_n chứa trong E_n+1 với mọi n, vậy thì hợp E của các tập E_n là đo được và μ(E) = lim μ(E_n). *Tính giao đếm được: Nếu E₁,E₂,E₃,... là các tập đo được và E_n+1 chứa trong E_n với mọi n, vậy thì giao E của các tập E_n là đo được; hơn nữa, nếu tồn tại một tập E_n có độ đo hữu hạn, thì μ(E) = lim μ(E_n).

Một tập S được gọi là hầu như rỗng hay có thể bỏ được nếu μ(S) = 0. Độ đo μ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập hầu như rỗng là đo được (một tập con như vậy thì bản thân nó cũng là một tập hầu như rỗng).

Ví dụ

Sau đây là một vài ví dụ tiêu biểu về độ đo:

Độ đo đếm được định nghĩa bởi $\mu(S)$ = số phần tử của S. Độ đo Lebesgue là độ đo đủ duy nhất bất biến qua phép dịch chuyển trên σ-đại số chứa các đoạn trên $\mathbb{R}$ sao cho $\mu(\left \lbrack a,b \right \rbrack) = b-a$ với $a<b.$

Độ đo Haar cho một nhóm khả tô pô compact địa phương là trường hợp đặc biệt quan trọng của độ đo (chính xác hơn là độ đo Radon). Nó bất biên đối với phép dịch chuyển trong nhóm.
Độ đo không được định nghĩa bởi $\mu(S) = 0$ với mọi S.
Mọi không gian khả xác suất đều cho phép định nghĩa một độ đo nhận giá trị bằng 1 cho tập hợp toàn thể (và cũng nhận tất cả các giá trị trong đoạn [0, 1]). Một độ đo như vậy được gọi là một độ đo xác suất. Xem các tiên đề xác suất. *Các khái niệm metric như độ dài, diện tích, thể tích đều là độ đo.

Tổng quát

Trong một vài trường hợp, sẽ rất có ích nếu ta có một "độ đo" cho các giá trị không bị giới hạn chỉ ở các số thực dương và ở vô hạn. Ví dụ, một hàm σ-cộng tính được định nghĩa trên các tập hợp và cho các giá trị dương được gọi là "độ đo đảm bảo" (độ đo signée), trong khi một hàm cũng như vậy, nhưng cho giá trị là các giá trị phức, được gọi là "độ đo phức". Một độ đo cho các giá trị trong một không gian Banach được gọi là "độ đo ảo" (độ đo spectrale). Các độ đo này được dùng chủ yếu trong giải tích hàm cho định lý ảo (định lý spectral).

Về khái niệm độ đo "cộng tính" hay "trung bình", định nghĩa tương tự như định nghĩa của độ đo nhưng tính σ-cộng tính được thay bởi tính cộng tính hữu hạn. Thật ra trước đây định nghĩa này được đưa vào trước, nhưng lại có ít ứng dụng trong thực tế.

Một kết quả đáng lưu ý trong hình tích phân, được biết dưới cái tên định lý Hadwiger, phát biểu rằng: không gian các bất biến hàm qua một phép biến đổi, cộng tính, là hàm số của các tập hợp không nhất thiết dương và được định nghĩa trên hợp của các tập compact lồi trong $\mathbb R$ , được cấu thành từ các độ đo đồng nhất bậc k với mọi k = 0,1,2,...,n và tổ hợp tuyến tính của các "độ đo" này.

Tính "đồng nhất bậc k" nghĩa là "mở rộng" bất kỳ một tập hợp nào đó bởi bất kỳ một hệ số c>0 nào đó cho nhân "độ đo" của tập hợp với c^k. Độ đo duy nhất có tính đồng nhất bậc n là thể tích thông thường với số chiều là n. Độ đo duy nhất có tính đồng nhất bậc n-1 là "thể tích bề mặt" và được gọi là độ đo bề mặt. Độ đo có tính đồng nhất bậc 1 được gọi là "chiều rộng trung bình" (largeur moyenne). Độ đo có tính đồng nhất bậc 0 là đặc trưng Euler.

👁️ 24 | ⌚2025-09-03 20:58:28.584

Mua hàng tại Shopee giảm thêm 30%

Toàn quyền Ấn Độ

**Phó vương và Toàn quyền Ấn Độ** (Tiếng Anh: Viceroy and governor-general of India; 1773 - 1950, từ 1858 đến 1947 được gọi là Phó vương và Toàn quyền Ấn Độ) là đại diện của

Lịch sử Ấn Độ (1947–nay)

**Lịch sử Ấn Độ độc lập** bắt đầu khi Ấn Độ trở thành quốc gia độc lập trong Khối Thịnh vượng chung Anh vào ngày 15 tháng 8 năm 1947. Kể từ năm 1858, người

Người Do Thái Ashkenazi

nhỏ|Ông lão người do thái Ashkenazi **Người Do Thái Ashkenazi** ( ), hay còn gọi là **Ashkenazic Do Thái** trong tiếng Hebrew số nhiều có hậu tố _-im,_ **Ashkenazim** là một Cộng đồng người Do

Chủ nghĩa phục quốc Do Thái xét lại

nhỏ|[[Ze'ev Jabotinsky]] **Chủ nghĩa phục quốc Do Thái xét lại** (tiếng Hebrew: ציונות רוויזיוניסטית) hay **Chủ nghĩa Zion xét lại** là một phong trào trong Chủ nghĩa phục quốc Do Thái do Ze'ev Jabotinsky khởi

Bản đồ học

**Bản đồ học** hay **Đồ bản học** là khoa học nghiên cứu và phản ánh sự phân bố không gian, sự phối hợp mối liên hệ giữa các đối tượng, hiện tượng tự nhiên và

Tượng Nữ thần Tự do

**Tượng Nữ thần Tự do** (; tên đầy đủ là **Nữ thần Tự do Soi sáng Thế giới**; ; ) là một tác phẩm điêu khắc bằng đồng theo phong cách tân cổ điển với

Bo mạch đồ họa

**Bảng mạch đồ họa**, **Bộ chuyển đổi đồ hoạ** (_graphics adapter_), **thẻ đồ họa, card đồ họa (graphics card)**, **thẻ màn hình**, **card màn hình** là một bảng mạch mở rộng (expansion card) dùng để

Tốc độ ánh sáng

**Tốc độ ánh sáng** trong chân không, ký hiệu là , là một hằng số vật lý cơ bản quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lý. Nó có giá trị chính xác bằng 299.792.458 m/s

Hệ tọa độ xích đạo

nhỏ|Hệ tọa độ xích đạo|257x257px **Hệ tọa độ xích đạo** là hệ tọa độ thiên văn được sử dụng nhiều cho các quan sát bầu trời từ Trái Đất. Nó là hệ tọa độ gắn

Tự do ngôn luận

thumb|[[Eleanor Roosevelt và Tuyên Ngôn Quốc tế Nhân quyền (1949)— Điều 19 quy định rằng "Ai cũng có quyền tự do quan niệm và tự do phát biểu quan điểm; quyền này bao gồm quyền

Thuật ngữ lý thuyết đồ thị

Lưu ý: Danh sách **thuật ngữ lý thuyết đồ thị** này chỉ là điểm khởi đầu cho những người mới nhập môn làm quen với một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản. Bài

Đồ thị phẳng

Trong lý thuyết đồ thị, một **đồ thị phẳng** là một đồ thị có thể được nhúng vào mặt phẳng, tức là có thể được vẽ trên mặt phẳng sao cho các cạnh chỉ gặp

Đồ thị (lý thuyết đồ thị)

:_Bài này chỉ viết về các định nghĩa cơ bản. Để hiểu rộng hơn, xin xem lý thuyết đồ thị. Về ý nghĩa biểu diễn hàm số trên hệ tọa độ, xem đồ thị hàm

Lý thuyết đồ thị

nhỏ|phải|Hình vẽ một đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh Trong toán học và tin học, **lý thuyết đồ thị** (tiếng Anh: _graph theory_) nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách

Nhiệt độ

## Tác động Nhiều quá trình vật lý liên quan đến nhiệt độ, chẳng hạn như: * Các tính chất vật lý của vật chất bao gồm pha (rắn, lỏng, khí hoặc plasma), tỷ trọng,

Ấn Độ giáo

phải|nhỏ|Biểu tượng của Ấn Độ giáo được thế giới biết đến nhỏ|phải|Một ngôi đền Ấn Độ giáo **Ấn Độ giáo**, **Ấn giáo** hay **Hindu giáo** (Hưng đô giáo) là một tôn giáo, hệ thống tín

Ấn Độ

**Ấn Độ** (, ), tên gọi chính thức là **Cộng hòa Ấn Độ** (, ) là một quốc gia ở khu vực Nam Á. Đây là quốc gia lớn thứ 7 về diện tích và

Khmer Đỏ

**Khmer Đỏ** (tiếng Campuchia: ខ្មែរក្រហម, ) là tên gọi dành cho thế lực và tổ chức chính trị cực tả cầm quyền tại Campuchia từ 1975 đến 1979 dưới sự lãnh đạo công khai của

Đô la Mỹ

Đồng **đô la Mỹ** hay **Mỹ kim**, **USD** (), còn được gọi ngắn là "đô la" hay "đô", là đơn vị tiền tệ chính thức của Hoa Kỳ. Nó cũng được dùng để dự trữ

Do Thái giáo

**Do Thái giáo** hay **đạo Do Thái** (tiếng Hebrew: יהודה, _Yehudah_, "Judah" theo tiếng Latin và tiếng Hy Lạp) là một tôn giáo đơn thần cổ đại thuộc nhóm các tôn giáo khởi nguồn từ

Ý chí tự do

liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Abm2.jpg|nhỏ|260x260px|Người nhảy xuống nước, sử dụng ý chí tự do của mình **Ý chí tự do** là khả năng lựa chọn giữa các con đường hành động có thể mà không bị cản trở.

Lịch sử Ấn Độ

Lịch sử Ấn Độ bắt đầu với thời kỳ Văn minh lưu vực sông Ấn Độ, một nền văn minh phát triển hưng thịnh tại phần Tây Bắc tiểu lục địa Ấn Độ từ năm

Phần mềm tự do

thumb|alt=Màn hình máy tính của hệ điều hành, màn hình hiển thị các ứng dụng phần mềm tự do khác nhau.|Ví dụ về một hệ điều hành phần mềm tự do hiện đại chạy một

Đỗ Bảo

**Đỗ Bảo** (tên đầy đủ là **Đỗ Quốc Bảo**, sinh ngày 30 tháng 6 năm 1978 tại Hà Nội) là nhạc sĩ và nhà sản xuất âm nhạc người Việt Nam. Anh là một trong

Đồ gốm

nhỏ|[[Gốm Bát Tràng]] nhỏ|Một thợ gốm tại nơi làm việc ở [[Morena, Ấn Độ ]] nhỏ|Đồ gốm từ [[Vùng đất Székely|Székely Land, Romania, được bán ở Budapest.]] **Đồ gốm** là các sản phẩm chứa đựng

Kinh tế Ấn Độ

**Kinh tế Ấn Độ** là một nền kinh tế thị trường công nghiệp mới đang phát triển, lớn thứ ba thế giới nếu tính theo sức mua tương đương (PPP), thứ 7 trên thế giới

Người Do Thái

**Người Do Thái** ( ISO 259-3 , phát âm ) là sắc tộc tôn giáo và là dân tộc có nguồn gốc từ người Israel cổ đại, còn gọi là người Hebrew, trong lịch sử

Đỗ Dự

**Đỗ Dự** (chữ Hán: 杜预; 222-284) là tướng nhà Tây Tấn trong lịch sử Trung Quốc, người Đỗ Lăng, Kinh Triệu (nay là phía đông nam Tây An, Thiểm Tây, Trung Quốc). Ông là người

Nam Ấn Độ

**Nam Ấn Độ** () là một khu vực của Ấn Độ gồm các bang Andhra Pradesh, Karnataka, Kerala, Tamil Nadu và Telangana cùng các lãnh thổ liên bang Andaman và Nicobar, Lakshadweep và Puducherry, chiếm

Hệ tọa độ địa lý

Bản đồ [[Trái Đất cho thấy các vĩ tuyến (ngang) và kinh tuyến (dọc), phép chiếu Eckert VI; [https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/reference_maps/pdf/political_world.pdf phiên bản lớn] (pdf, 1.8MB)]] **Hệ tọa độ địa lý** là một _hệ tọa độ_ cho

Chế độ độc tài

thumb | 220x124px | right | [[Adolf Hitler - lãnh đạo chế độ độc tài toàn trị của Đức Quốc Xã 1933 - 1945]] **Chế độ độc tài** (; cách dịch khác là **chuyên chính**),

Sơ đồ mạng PDM

nhỏ|phải|Sơ đồ mạng PDM, với các công tác A, B, C, D có: các sự kiện BS, KS, BM, KM; thời gian T, các quan hệ với độ trễ: SS, SF, FS, FF. **Phương pháp

Tô màu đồ thị

nhỏ|phải|[[Đồ thị Petersen có sắc số bằng 3.]] Trong Lý thuyết đồ thị, **tô màu đồ thị** (tiếng Anh: _graph coloring_) là trường hợp đặc biệt của gán nhãn đồ thị, mà trong đó mỗi

Chủ nghĩa tự do

**Chủ nghĩa tự do** là một hệ tư tưởng, quan điểm triết học, và truyền thống chính trị dựa trên các giá trị về tự do và bình đẳng. Chủ nghĩa tự do có nguồn

Độ đo

thế=|nhỏ|Về cơ bản, một độ đo có tính chấn của một [[hàm số đơn điệu|hàm đơn điệu theo nghĩa, nếu

A

là tập con của

B,

khi này độ đo của

A

nhỏ hơn hoặc

Tốc độ âm thanh

**Vận tốc âm thanh** hay **tốc độ âm thanh** là tốc độ của sự lan truyền sóng âm thanh trong một môi trường truyền âm (xét trong hệ quy chiếu mà môi trường truyền âm

Dân chủ tự do

thumb|_Eduskunta_, quốc hội của [[Đại công quốc Phần Lan (lúc đó là một phần của Nga), có quyền bầu cử phổ thông vào năm 1906. Một số tiểu bang và vùng lãnh thổ có thể

Đỗ Phủ

**Đỗ Phủ** (chữ Hán: 杜甫; 712 – 770), biểu tự **Tử Mĩ** (子美), hiệu **Thiếu Lăng Diệp Lão** (少陵野老), **Đỗ Lăng dã khách** (杜陵野客) hay **Đỗ Lăng bố y** (杜陵布衣), là một nhà thơ Trung

Thời đại đồ sắt

Trong khảo cổ học, **thời đại đồ sắt** là một giai đoạn trong phát triển của loài người, trong đó việc sử dụng các dụng cụ bằng sắt như là các công cụ và vũ

Lý thuyết độ phức tạp tính toán

**Lý thuyết độ phức tạp tính toán** (tiếng Anh: _computational complexity theory_) là một nhánh của lý thuyết tính toán trong lý thuyết khoa học máy tính và toán học tập trung vào phân loại

Dò tia (đồ họa)

Trong đồ họa máy tính, **dò tia** là kỹ thuật tạo ra một hình ảnh bằng cách dò đường đi của ánh sáng thông qua các điểm ảnh trên một mặt phẳng ảnh và mô

Hệ tọa độ

phải|nhỏ|300x300px|Hệ [[Hệ tọa độ cầu|tọa độ cầu được sử dụng phổ biến trong _vật lý_ . Nó gán ba số (được gọi là tọa độ) cho mọi điểm trong không gian Euclide: khoảng cách xuyên

Đồ chơi

Một dãy hàng đồ chơi trên phố Lương Văn Can, Hà Nội liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Wooden_toys_(cropped).JPG|nhỏ|252x252px|Nhiều loại [[đồ chơi Channapatna bằng gỗ truyền thống từ Ấn Độ]] **Đồ chơi** hay **đồ hàng** là một đồ vật được

Kane (đô vật)

**Glenn Thomas Jacobs** (sinh ngày 26 tháng 4 năm 1967) là một đô vật chuyên nghiệp , người bán bảo hiểm, chính trị gia, doanh nhân và diễn viên người Mỹ. Là người theo đảng

Đo áp suất

Cấu trúc của một ống đo bourdon, các yếu tố xây dựng được làm bằng đồng thau [[brass]] Nhiều kỹ thuật đã được phát triển cho các phép đo áp suất và chân không. Dụng

Thành bang tự do Frankfurt

**Frankfurt** là một thành bang lớn của Đế chế La Mã Thần thánh, là nơi diễn ra các cuộc bầu cử đế quốc từ năm 885 và là thành phố tổ chức Lễ đăng quang

Danh sách nhân vật trong Ỷ Thiên Đồ Long ký

Ỷ Thiên Đồ Long ký là bộ tiểu thuyết nằm trong Xạ điêu tam bộ khúc của Kim Dung, phần tiếp theo của Anh hùng xạ điêu và Thần điêu hiệp lữ, trong truyện có

Siêu đồ thị

[[Hình:Hypergraph-wikipedia.svg|right|frame| Một ví dụ về siêu đồ thị, với

X = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7\}

và

E = \{e_1,e_2,e_3,e_4\} =

\{\{v_1, v_2, v_3\},

\{v_2,v_3\},

\{v_3,v_5,v_6\},

\{v_4\}\}

. ]] Trong toán học,một **siêu

Paul Heyman Guy (nhóm đô vật chuyên nghiệp)

**Paul Heyman Guy** là một nhóm đô vật chuyên nghiệp ở World Wrestling Entertainment do Paul Heyman quản lý và các thành viên Roman Reigns, Jimmy và Jey Uso, hiện thi đấu cho thương hiệu

Chế độ ăn

thumb|right|Phụ nữ trong độ tuổi sinh sản và trẻ em dưới 2 tuổi cần cải thiện tình trạng dinh dưỡng bằng cách ăn thực phẩm tốt cho sức khỏe Trong dinh dưỡng, **chế độ ăn